Algorismus

Velg språk	Norrønt	Islandsk	Norsk	Dansk	Svensk	Færøysk
Denne teksten finnes på følgende språk ►

Hauksbók

Algorismus, eller Anviisning til at kjende og andvende de saakaldte arabiske Tal,
efter Hr. Hauk Erlendssöns Codex
meddeelt og ledsaget med Oversættelse af P. A. Munch.

Det kongelige nordiske Oldskriftselskab

København, 1848

Hér byrjar Algorismum

1. List þessi heitir Algorismus; hana fundu fyrst indverskir menn [ok skipuðu með .x. stöfum þeim er svá eru ritnir: 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Hinn fyrsti stafr merkir einn í fyrsta stað, hinn annarr .ij., hinn þriði þrjá, ok hverr eftir því sem skipaðr er alt til hins síðasta, er cifra heitir, ok skal þessa stafi frá hœgri hendi upp hefja ok rita til vinstri handar sem ebresku.

Um merking stafa

2. Hverr þessi stafr merkir sik einfaldlega í fyrsta stað, en ef hann er í öðrum stað en hann er skipaðr, merkir hann .x. sinnum sjálfan sik, ok í hvern stað er þú setr figúru þessa annan en skipat er, þá merkir hon ávalt .x. hlutum meira í þeim stað er til vinstri handar veit, heldr en í næsta stað áðr. Cifra merkir ekki fyrir sik, en hon gerir stað ok gefr öðrum figúrum merking.

Um grein stafa

3. Þar næst heyrir þat til, at vita þrenna grein stafanna ok allrar tölu, því at öll tala minni en .x. heitir fingr, en sú tala öll er tigum gegnir, heitir liðr, hvárt sem hon er meiri eða minni; en sú tala er alt er saman, liðr ok fingr, heitir samsett tala.

Um fingr ok figúru

4. Ef þú vill rita nakkverja tölu, þá hygg þú at ef þat er fingr, ok rita í fyrsta stað eina hverja figúru slíka sem þarf, á þessa leið: 8. En ef þú vill lið rita, þá settu cifru fyri figúru, á þessa lund: 70. Vill þú samsetta tölu rita, þá settu fingr fyri lið, sem her: 65.

Hversu jöfn eða újöfn tala verðr

5. Hverja tölu er þú ritar, þá er hon jöfn, ef tigum gegnir eða jafn fingr er umfram; en öll tala er újöfn, ef újafn fingr er umfram. Jafnir fingr eru fjórir: 2, 4, 6, 8; en újafnir aðrir fjórir: 3, 5, 7, 9. En einn er hvártki, því at hann er eigi tala, heldr upphaf allrar tölu.

Capitulum

6. Í sjau staði er skift þessarar listar greinum. Heitir hit fyrsta viðrlagning, annat afdráttr, þriðja tvefaldan, fjórða helmingaskifti, fimta margfaldan, setta skifting, sjaunda at taka rót undan, ok er sú [grein á tvær leiðir annat er at taka rót undan ferskeyttri tölu, en annat er þat at taka rót undan átthyrndri tölu, þeirri er verpilsvöxt hefir.

Hversu af skal taka tölum ok við leggja

7. Frá hinni hœgri hendi skaltu af taka ok við leggja ok skifta í helminga, en frá vinstri hendi skaltu tvefalda og skifta ok margfalda ok svá draga undan rót hváratveggju.

Her segir á hvern hátt við skal leggja aðra tölu við aðra

8. Ef þú vill við aðra tölu aðra leggja, þá rita yfir uppi hina meiri töluna ok set hina minni tölu jafnfram til hinnar hœgri handar ok legg þá figúru fyrst upp við töluna er utarst er til hœgri handar; ok ef sú tala öll saman er fingr, þá rita hann í sama stað, en ef talan verðr samsett, þá rita í fyrsta fingr, en legg við liðinn þá töluna, sem í næsta stað er áðr. En ef liðr verðr af viðrlagning í fyrsta stað, þá rita þar cifru, en legg liðinn við þá tölu er næst stendr, ef þar er nökkur tala, ella rita þar hann einnsaman; en ef þar er cifra, þá tak hana brott, en set liðinn þar niðr; legg síðan aðrar figúrur við á slíkum hætti.

(Afdráttr)

9. Ef þú vill aðra tölu af annarri taka, þá rita tvennar tölur sem í viðrlagning ok set jafnan hina minni tölu undir elligar jafna: þá tak þú af hinni fyrstu figúru þá tölu sem undir stendr, ef þat má, ok rita ef nökkut er eftir í sama stað, ella set þar cifru. En ef þú mátt eigi hina fyrstu figúru af taka, ok er sú tala meiri er undir stendr, þá taktu einn af næstu figúru; gá þess at hon gerir .x. í fyrra staðinum; tak þá af þeim alla tölu þá sem undir er ok rita í sama stað þat sem af hleypr. En ef cifrur standa yfir uppi, þá tak einn af þeirri figúru er næst stendr cifrum ok rita níu, þar sem cifrur váru, alt þar til er þú kemr í þann stað er þú vill af taka, ok taktu þar af þeim tíu sem þarf, ok rita í sama stað þat er lifnar.

Hversu tvefalda skal tölu

10. Ef þú vill tvefalda nakkverja tölu, þá rita fyrst slíka tölu er þér líkar, þarnæst tvefalda þú þá figrúru er mest veit til vinstri handar ok rita í næsta stað þat er af hleypr, sem í viðrlagning. En ef semis stendr yfir uppi í ýzta stað, þá legg við einn, því at þar var áðr (ú)jöfn tala er í helminga var skift.

(Um helmingaskipti)

11. En ef þú vill helming af taka, þá rita slíka tölu sem þú vill, ok tak af helmingi hinni fyrstu figúru, ef hon er jöfn, en ef hon er újöfn, þá skift í helminga því er af einum hleypr, ok tak upp einn, en rita yfir uppi þann staf er helming hvers hlutar merkir ok vér köllum semis, ok svá er görr: +, en set cifru í staðinn; þar næst tak af annarri figúru helming at sama hætti, ef hon er jöfn, en ef hon er újöfn, þá tak af helming af því at jafnt er; [ok tak upp I þaðan ok ger af hánum fimm í næsta stað, [þvíat þat er helmíngr af tíu. En ef í öðrum stað stendr einn, þá tak hann upp ok rita fimm í næsta stað, en set þar niðr cifru sem hann stóð. Ekki gerir cifra nema nökkur figúra standi til vinstri handar henni. Far síðan fram at slíkum hætti hversugi margar sem figúrur eru.

Um margfaldan

12. Ef þér líkar at margfalda aðra tölu í aðra, rita tvennar rásir stafanna með þeim hætti, at hin ýzta figúra þeirrar tölu, er þú margfaldar, standi undir fyrsta staf hinnar efri tölu, en til vinstri handar allar aðrar frá þeirri, þær sem undir eru. Þar næst skaltu hugsa hversu mikit hina meiri figúru, þá er þú vill margfalda, skortir á .x.: Svá oft skaltu hina minni töluna, þá er þú vill margfalda, taka af tigum hennar. Ok at þú skilir þetta: - Margfalda VII ok níu. Níu skortir einn á x; því taktu eina VII af VII tigum; þá verða eptir III ok VI tiger; þat eru VII sinnum níu. At slíku skapi máttu aðrar tölur reyna. Margfalda hina fyrstu figúru réttliga í allar þær er undir standa, ok rita yfir hverri figúru þá margfald er hon hefir, ok til vinstri handar þat sem eigi má yfir henni í næsta stað með viðlagning réttri, ok þá er þessi figúra er margfölduð, fœr hina ýztu af þeim, er undir standa, undir næstu figúru, ok margfalda við þann svá sem við hinn fyrra, ok ef margfaldan gefr þér lið, set cifru yfir uppi, en skipa liðnum til vinstri handar. En ef bæði verðr af, fingr ok liðr, þá rita fingr yfir þeirri figúru er þú margfaldaðir, en lið æ næsta stað. En ef fingr einn verðr af margfaldan, þá rita hann yfir uppi. Ef cifra er í hinni efri tölu, þá hlaup yfir hana, því at ekki er hennar margfaldan. Þess skal ok gá, at taka af figúrur þær sem yfir uppi standa jafnskjótt, hverja sem þú hefir margfaldat, ok rita þann fingr í stað hverrar, sem til heyrir, eða cifra ef þat er réttara, en legg þat við hinar er til vinstra vegs standa sem af hleypr. Ef cifra stendr yfir þeirri figúru er þú margfaldar, þá tak hana af, ef fingr verðr, ok margfalda; ella standi hon kyr. Ef þú grunar hvárt þú hefir rétt margfaldat, þá skift í sundr alla töluna um margfaldan, þat er sú tala er undir stóð, ok muntu fá hina sömu tölu ok fyrr hafðir þú.

Sundrskiftileg tala

13. En ef þú vill skifta í sundr tölunni, þá rita tvennar rásirnar stafanna ok rita undir hina minni töluna, ok skal hin meiri tala hálfu meiri eða þrjú slík eða meiri munr. Settu hina fremstu figúru þá er undir stendr gegnt hinni fyrstu yfir uppi ok aðrar til hœgri handar jafnfram sem þær endast er undir standa. Þar næst hugsa þú hversu oft hinn fyrsti fingr [er ok í hinum efra, svá at jafn oft se þær er fylgja henni, hver í þeirri tölu er yfir stendr, ok set þú þann fingr gengt hinni ýztu figúru er undir stendr, ok þó uppi yfir báðar raðir; tak síðan hina fyrstu af hinni fyrstu figúru ok þar næst hverja at hendi jafnoft af hinni efri tölu. En ef ein tala er undir, þá tak hana af hinni efri tölunni, þar næst flyt alla tölu þá er undir stendr um einn, ok finn annan kotiens ok set þann hjá hinum fyrsta, ok tak hina neðri tölu [í qvotiens svá oft af hinni efri ok ger at sama hætti svá oft sem þarf. Ef þú mátt eigi hina neðri tölu í figúru finna í hinni efri, þá set þann fingr er undir stendr fremstr næst hinni fyrstu ok aðrar at sama hætti til hœgri handar, ok finn síðan kotiens eftir slíkum hætti, ok fœr aftr figúrur sem þarf, ok rita alla sama kotiens yfir uppi svá marga sem þarf. En ef cifra stendr undir niðri, þá hlaup yfir hana, því at ekki má henni skifta. Þá er þú kemr undir hina ýztu figúru ok hefir hinni skift, máttu ekki lengr skifta, ok gættu þá þeirrar tölu er eftir stendr, ef hon er nökkur. En ef þú vill prófa, hvárt þú skiftir rétt, þá margfalda þá tölu er undir stóð við kotiens ok muntu fá sömu tölu ok fyrst hafðir þú. En ef nökkut hljóp af fram í skifting, þá legg þat við síðan, er margfaldat er, ok mantu finna hina sömu tölu.

(At taka rót undan ferskeyttri tölu)

14. Þá er þú leiðir eina hverja tölu ok margfaldar í sjálfa sik, heitir sú tala ferskeytt eða qvadrans, ok hin fyrsta tala, sú er þú margfaldaðir, heitir rót, ok er hver tala rót undir nökkurri tölu, en eigi er hver tala ferskeytt. Ef þú vill rót finna undir nökkurri tölu þá rita fyrst slíka tölu er þér líkar, ok æ í enum fyrsta ójöfnum stað rita undir fingr þann er þú leiðir í sjálfan sik, ok taki af þat sem yfir uppi er eða svá sem næst má hann ganga. Síðan tvefalda þú þann sama fingr, ok heitir þat dufl. Tak þá upp fingrinn, ok heitir hann subdupl. Gættu subdupls, en rita dufl í næsta stað, ef þat er fingr; en ef liðr er, þá rita þar sem fingr hinn fyrri stoð, ok set cifru fyri, ella fingr, ef samsett tala er. Finn síðan nýjan fingr ok (leið) hann í dufl, ok tak af hinni efri tölu þá tölu er þú margfaldar, síðan margfalda þú fingr í sjálfan sik ok tak þá tölu af hinni efri gegnt sjálfum hánum. Þarnæst tvefaldadu fingrinn ok gæt hans með fyrra subdupli, en set dufl í næsta stað sem fyrr. Finn þar næst nýjan fingr ok (leið) í duflin bæði samt, ok flyt duflit fyrra at hinu dufli um einn stað, ok legg þar við ef þar stóð liðr fyri af hinu duflinu. Margfalda þá nýjan fingr í bæði duflin, ok tak þá tölu af hinni efri gegnt duflinu. Ger at sama hætti svá oft sem þarf, ok leið nýjan fingr í öll duflin, ok flyt þau eftir ávalt um einn þar til er þú kemr í hinn ýzta stað. Ef upp gengr öll talan sú er þú ritaðir í fyrstunni, þá var sú tala ferskeytt, en rót undir þeirri tölu eru fingr allir saman, þeir er þú tvefaldadir með síðasta fingrinum þeim er þú fant. Margfaldaþu rótina í sjálfa sik ok muntu hafa hina sömu tölu sem í fyrstu, ef þú gerðir rétt. Ef af hleypr nökkut tölunni, þá er þú dregr rótina undan, þá var sú tala eigi ferskeytt, ok leggþu þá tölu við hina er þú margfaldar rœtrnar til, ok muntu fá hina fyrstu töluna, ok er sú tala öll saman, rótin ok afhlaup, rót meiri tölu. Ef hinn fyrsti staðr þeirrar tölu, er þú ritaðir, var jafn, þá finn fingr undir næstu figúru ok margfalda á sömu leið.

(At taka rót unden átthyrndri tölu)

15. En ef þú margfaldar réttliga á þá leið ferskeytta tölu í sjálfa sik, ok sú tala er af þeirri margfaldan kemr, heitir cubikus (eða) verpilstala; hon er alla vega jafnmikil. En rótin undir cubico var hin sama ok ferskeyttrar tölu. Hver tala er rót nökkurrar verpilstölu (eða) cubici, en eigi er hver tala cubicus. Ef þú vill finna rót undir cubico, hugsa hversu mikil tala er ok hversu margir staðir eru; finn þat næst fingr í hinum fremsta þúsundastað. (Þúsundastaði köllum vér þá alla er um þúsundir einar brjótast, þat er hinn fjórði ok hinn sjaundi ok hinn tíundi ok hinn þrettándi ok ávalt hleypr yfir ij staði.) Frá vinstri hendi skaltu þetta verk upp hefja. Leið þann fingr, þú fant, í sik cubice, þat er tysvar sinnum margfaldat, fyrst í sjálfan sik ok annat sinn í þá tölu er þar kom af, ok þar næst tak af efri tölu þessa tölu alla gegnt fingrinum þeim sjálfum, ok þrefalda þar næst fingrinn, ok hoppa yfir einn stað með þá tölu, ok set í þriðja stað fyri hinum þá töluna, ef þat er fingr; en ef þat er liðr, þá set þar cifru, en liðin í næsta stað; en ef samsett tala er, þá set fingrinn í sama stað, en lið hit næsta. Þar næst finn nýjan fingr í næsta stað þrefaldri tölu, er tripl heitir, ok leið hann með hinni figúru er fyrst fantu, ok vér köllum subtripl, ok á hœgri veg henni í triplit með margfaldan, ok þar næst leið hann einnsaman í þá tölu er af margfaldan kom ok vér köllum productum. Tak þá þessa tölu alla samt af hinni efri gegnt því sem triplit stóð, þvínæst leið fingr þann sama í sjálfan sik cubice ok tak þá tölu af hinni efri gegnt sjálfum fingrinum; tak af fingr þann ok þrefalda hann sem hinn fyrra, ok finn þá nýjan fingr; leið þann með báðum subtriplum í triplin samt ok flyt ávalt triplin fornari eftir sem þú gerir í minna rótardrátt við dupl, nema hér skaltu ávalt einn stað hoppa, en leggja þó at sama hætti tripl við tripl með réttri viðrlagning. Far fram at slíku hófi meðan þarf, ok þú kemr í ýzta stað. En þat skaltu með mikilli vandvirkt hugsa, þá er þú finnr fingrna, at þeir taki eigi svá mikit af efri tölu, at sú tala hafi eigi stað, er þú margfaldar triplin til, eða hin önnur, er þú margfaldar fingrinn þann síðara til. Varðveittu ávalt subtripl med tripli. Gæt þess ok, ef cifrur koma í subtripl, at engi er margfaldan eða þrefaldan þeirra, en halda þær stöðum sínum, meðan nökkur figúra er til hœgri handar þeim, ok er þat úvandast í viðrlagning tripls, at ávalt ferr þat, som fyrr er ritat í viðrlögu list. Fingr allir samt, þeir er subtripl váru, ok ýztr fingr með eru rót hinnar meiri tölu, þeirrar er þú ritaðir fyrst, ef upp gekk öll talan í afdrættinum, ok margfalda þú subtriplin í sjálf sik cubice, ok muntu finna hina fyrstu tölu; en ef af hljóp nökkut tölunni í afdrætti, þá er sú tala eigi cubicus, en þó er afhlaup þat með subtriplum rót nökkurs cubici, ok ef þú margfaldar rót hina minni cubice, ok leggr undir þá tölu, er af margfaldan kemr, afhlaupit, ok muntu fá fyrstu tölu er þú ritaðir, ok nú ritum vér at sinni eigi fleira þar af.

16. Þessar eru fingra margfaldanar ferskeyttar: af 3 = 9; qvadratus af 2 = 4; af 4 = 16; qvadratus af 5 = 25; af 6 = 36; qvadratus af 7 = 49; qvadratus af 8 = 64; qvadratus af 9 = 81. Ok sú list til at finna fingra margfaldan, sem ritat er fyrr. Þessi er fingra margfaldan cubice: 3 rót, 27 cubus; 2 rót, 8 cubus; 4 rót, 64 cubus; 5 rót, 125 cubus; 6 rót, 216 cubus; 7 rót, 343 cubus; 8 rót, 512 cubus; 9 rót, 729 cubus.

17. Hver ferskeytt tala hefir ij mælingar, þat er breidd ok lengð, en [cubicus numerus (tala) hefir þrenna mæling, þat er breidd ok lengð ok þykt eða hæð; ok því kalla spekingar hvern sýnilegan líkama með þessi tölu saman settan, at hann hefir ávalt þessa mæling þrenna. Með því at eilíf speki ok einn guð vildi heiminn sýnilegan ok líkamlegan skapa, þá setti hann fyrst ij hinar ýztu höfuðskepnur, eld ok jörð, þvíat ekki má nattúrlega sýnilegt vera utan þær, þar sem eldr gerir ljós ok hrœring, en jörð staðfesti ok hald. En með því at þau hafa þrenna újafna hvílegleika ok gagnstaðlega, þá var nátturuleg nauðsyn at setja nakkvat milli þeirra þat er samþykkti þeirra úsætti; ok sem fyrr var sagt, at eldr ok jörð ok þat alt sem líkamlegt er, þá er með þrefaldri tölu, er vér köllum cubicum, samansett, þá ritum vér þessa tvá cubicus: ritum jörðina þessa leið: tysvarsinnum ij tysvar = 2. 4. 8; en eldinn svá: þrysvar iij þrysvar = 3. 9. 27. En með því at ekki eitt miðskeið má meðal þessarra talna einna, þat er jafnri hluttekning heyri til hvárttveggja ok engra annarra tveggja cuba, þá finnum vér tvær hlutfellingartölur á þessa lund: leiðum rót hins meira cúbs í kvadratum hins minna cúbs, þat er tysvar ij þrysvar = 2. 4. 12; ok rót hins minna cúbs í kvadratum hins meira cúbs, þat er þrysvar þrír tysvar = 3. 9. 18. Þessar tvær tölur heyra jafnt til tveggja hinna enna fyrstu cúba, þvíat 27 hafa í sér 18 ok helming af 18; en 18 hafa í sér 12 ok helming af 12; svá hafa ok tólf 12 í sér 8 ok helming af 8. At sama hætti skaltu ávalt hluttekningar finna milli tveggja cúba. Svá skipaði guð tvennar höfuðskepnur milli elds ok jarðar, loft ok vatn, ok hefir vatn tvá hvílegleika af jörð ok ij tölur, af eldi einn hvílegleik ok eina tölu; en loft hefir ij hvílegleika af eldi ok ij tölur, en einn af jörð ok eina tölu; ok er eldr því léttari en loft, sem 27 eru meiri en 18; en loft því léttara en vatn, sem 18 eru meiri en 12; vatn því léttara en jörð, sem 12 eru meiri en 8. Má þetta fullegar skilja í þeirri figúru er hér er síðar ger, ok kölluð er cubus perfectus.

---

Fotnoter: