Vis kilden til Algorismus (Munch)

{| class="toccolours" border="1" width="100%" cellpadding="4" style="border-collapse:collapse"
|- style="background-color:#e9e9e9"  
!align="center" valign="top" width="40%" | '''Velg språk''' !!align="center" valign="top" width="10%" | Norrønt !!align="center" valign="top" width="10%"| Islandsk !!align="center" valign="top" width="10%"| Norsk !!align="center" valign="top" width="10%"| Dansk !!align="center" valign="top" width="10%"| Svensk !!align="center" valign="top" width="10%"| Færøysk
|-
! Denne teksten finnes på følgende språk ► !! [[Fil:Original.gif|32px|link=Algorismus]] !!  !! [[Fil:Norsk.gif|32px|link=Algorismus (Munch)]] !!  !!  !! 
|-
|}


<center><big>'''Algorismus'''</big>, eller Anviisning til at kjende og andvende de saakaldte arabiske Tal,<br> efter Hr. Hauk Erlendssöns Codex<br> meddeelt og ledsaget med Oversættelse af [[Peter Andreas Munch biografi|P. A. Munch]]. 


[[Det kongelige nordiske Oldskriftselskab]]

København, 1848</center>


I dette Tidsskrifts forrige Bind (for 1847) anförte vi blandt andre Pröver paa den fortjente Hr. Hauk Erlendssöns literære Virksomhed ogsaa Begyndelsen og Slutningen af den under hans Opsigt i Codex Arnamagnæanus, 544 qv., den saakaldte Hauksbók, nedskrevne Afhandling om Brugen af de arabiske Tal, med Titelen Algorismus. Da det maa antages at være af særdeles Interesse, nærmere at lære at kjende dette mærkelige Vidnesbyrd om de mathematiske Videnskabers Standpunkt hos vore Forfædre, meddele vi Afhandlingen her fuldstændig, ledsaget med Oversættelse. Med Hensyn til Texten bemærkes, at den i Hauksbogen paa dette Sted, hvor Haanden ikke er Hauks egen (see nærværende Annaler 1847, S. 193-196) fulgte Retskrivning er ombyttet med en conseqvent grammatisk Orthographi, ligesom Interpunctionen er forbedret, aabenbare Fejl rettede ved Noter, og Capiteloverskrifter, hvor de manglede, tilföjede. Endelig ere Varianter tilföjede af de andre Codices, hvor samme Stykke ogsaa forefindes. Disse Codices ere, som allerede bemærket l. c. S. 194: a) No. 1812 qv. i det store kgl. Bibliotheks ældre Manuskriptsamling, hvor det findes heelt, med norsk Haand og Orthographi omtrent fra 1ste Fjerdedeel eller Halvdeel af 14de Aarhundrede, og i det Hele taget nöje stemmende med Hauksbogen; b) No. 736 qv. i den arnamagnæanske Samling, der synes at være mindst 60-80 Aar yngre, er skreven med islandsk Haand og Orthographi, og indeholder Fragmenter af flere blandt de i Hauksbogen forekommende Stykker, hvoriblandt ogsaa af Algorismus, fra det nedenfor i Cap. 14 antydede Sted.

For Oversættelsen maa jeg gjöre Undskyldninger, da den indeholder flere Dunkelheder, og et Par meningslöse Steder. Her var nemlig Originalen selv dunkel eller meningslös, enten fordi nu Afskriverne ikke ret have forstaaet hvad de skreve eller fordi Concipisten ikke har forstaaet at udtrykke sig ret tydeligt. Man skulde deraf formode, at Kunsten endnu ikke var ret gammel i Norge. Det ligger desuden i hele den Maade, hvorpaa Afhandlingen er forfattet. Det er ligesom om en ny Opfindelse for förste Gang meddeles. Imidlertid maae Tallene selv vistnok tidligere være bragte til Norge fra Udlandet, især ved Gejstligheden, thi allerede i det 9de Aarhundrede skal man have kjendt dem i Frankrige, i det 11te skulle de træffes i flere af de övrige europæiske Landes Literaturlevninger, og deres Bekvemhed til större Regninger maatte være for inlysende til at man ej skulde benytte dem.

Efter Hauks Tid, Begyndelsen af det 14de Aarhundrede, finder man ej sjelden arabiske Tal anvendte i norske og islandske Codices, deels som Capiteltal i Marginen, deels ogsaa ved Anförelsen af Aarstal eller Summer. Der findes flere Spor til, at man ved Opgjörelse af Regnskaber stadigen har brugt arabiske Tal under selve Regningen og paa Concepterne, men derimod i det reenskrevne Document indfört de forskjellige Talstörrelser med romerske Tal.

Den Form, hvorunder Tallene hos Hr. Hauk meddeles, synes de i det Væsentlige at have beholdt indtil Indförelsen af Bogtrykkerkunsten i Norden. [[Fil:Arabiske tall.jpg|200px]]Saaledes forekommer paa det af Langebek (Scriptt. Vol. III, S. 250) meddeelte Facsimile af Petri Olai Optegnelser, Aaret 1187 allernederst aldeles med saadanne Syvtal, som Hauk Erlendssöns; og Petrus Olai levede paa Reformationens Tid, efterat der allerede i Tydskland vare udkomne flere Böger med arabiske Tal, formede paa den nu brugelige Maade.

Navnet Algorismus synes at have sin förste Oprindelse fra det Arabiske, og rimeligviis har man dermed overalt i Middelalderen benævnt denne Regnemaade.

Slutningen af Cap. 15, hvor Forfatteren kommer ind i mystiske naturphilosophiske Betragtninger, er ej uden Interresse. Ved nærmere at undersöge flere af de scholastiske og andre Philosophers Skrifter fra Middelalderen, vilde man vel uden al Tvivl finde Kilderne, hvoraf dette Raisonnement er öst, thi det hidrörer neppe fra Hauk selv.


----


'''Her begynder Algorismus'''

'''1.''' Denne Kunst heder ''Algorismus''; den er först bleven opfunden hos Indierne, der indrettede den med 10 Bogstaver (Tegn), der skrives saaledes: 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Det förste Bogstav betegner ''Een'' paa förste Plads (&#596;: naar den staar længst til Höjre); den anden ''To'', den tredje ''Tre'', og fremdeles enhver af de övrige efter sin Plads i ovenanförte Række, paa den sidste nær, der heder ''Zifret'' (Nul). Disse Bogstaver skal man skrive fra Höjre til Venstre ligesom ''Hebraisk.''


'''Om Bogstavernes Betydning'''
 
'''2.''' Enhver af disse Bogstaver betegner paa förste Plads kun sin enkelte Værdi, men sættes den paa anden Plads end den staar, betegner den sin tidobbelte Værdi<ref>Dette er noget unöjagtigt udtrykt.</ref>, og hvor du sætter en saadan Figur paa en anden Plads end forhen, da betegner den altid paa næste Plads til Venstre ti Gange mere end paa forrige Plads. Nullet har selv ingen Værdi, men betegner en Plads og giver saaledes de övrige Figurer Værdi.

 
'''Om Bogstavernes Inddeling'''
 
'''3.''' Dernæst er det nödvendigt at kjende den tredobbelte Inddeling af Bogstaverne og alle Tal, nemlig: Ethvert Tal under ''Ti'' kaldes ''Finger'' (Ener); ethvert Tal, der bestaar af Tiere, kaldes ''Led'' (Tier), hvad enten det er större eller mindre; men et Tal, der baade bestaar af Led og Finger, kaldes ''sammensat Tal.''


'''Om Finger og Figur'''

'''4.''' Vil du skrive et Tal, da eftertænk forst, om det blot er en Finger (Ener), og skriv saa Taltegnet paa förste Plads, f. Ex. 8. Er det derimod et Led (en Tier), du vil skrive, saa sæt et Nul foran Taltegnet, f. Ex. 70. Vil du skrive et sammensat Tal, da sæt Fingeren (Eneren) foran Leder (Tieren) f. Ex. 65.


'''Om lige og ulige Tal'''
 
'''5.''' Ethvert Tal, som du nedskriver, er ''lige'', hvis det enten bestaar af hele Tiere, eller desforuden indeholder en ''lige'' Finger (Ener); ethvert Tal er derimod ''ulige'', naar det foruden Tieren indeholder en ''ulige'' Finger. De lige Fingre ere fire: 2, 4, 6, 8, de ulige andre fire: 3, 5, 7, 9. ''Een'' er ingen af Delene, thi den er intet Tal, men heller Ophav til ethvert Tal.


'''Om de forskjellige Regnemaader'''
 
'''6.''' I syv Stykker inddeles denne Kunst. Det förste er ''Sammenlægning'', det andet ''Fradragning'', det tredie ''Fordobbling'', det fjerde ''Halvering'', det femte ''Mangfoldiggjörelse'' (Multiplication), det sjette ''Skiftning'' (Division), det syvende ''Rodens Uddragning''. Denne er igjen tvende Slags, det ene er at uddrage Roden af et fiirkantet Tal (Qvadrattal), det andet er at uddrage Roden af et ''aattehjörnet'' Tal (Cubiktal), der har Tærnings-Udseende.


'''Om Regningens Retning'''

'''7.''' Fra Höjre skal du subtrahere, addere og halvere; fra venstre skal du fordoble, dividere, multiplicere og uddrage beggeslags Rödder.


'''Om Addition'''
 
'''8.''' Vil du lægge et Tal til et andet, da skriv det störste Tal överst, og sæt det mindste Tal [derunder] ligesaa langt til Höjre. Læg derpaa det yderste Tal til Höjre til det ovenover staaende; bliver Summen en Finger (Ener), da skriv den paa samme Plads; bliver den et sammensat Tal, da skriv Fingeren paa förste Plads, men læg Ledet (Tieren) til det Tal, som forhen stod paa anden Plads. Bliver der Led (Tier) af Additionen paa förste Plads, da skriv her et Nul, men læg Ledet til næste Tal, hvis der er noget; hvis ikke, skriv Ledet der; stod der et Nul, da tag dette bort, men skriv Ledet istedet; addeer derpaa de övrige Tal paa samme Maade.


'''Om Subtraction'''

'''9.''' Vil du drage et Tal fra et andet, da skriv to Tal, ligesom ved Additionen, altid saaledes at det mindste Tal eller ligestore kommer underst. Drag saa fra förste Tal det som staar under, hvis det lader sig gjöre, og skriv Differentsen, hvis der er nogen, paa samme Plads, ellers Nul. Kan du ej drage fra det förste Tal, fordi det under samme staaende er större, saa tag een fra næste Tal, men husk paa at den udgjör ''ti'' paa næstforegaaende Plads; drag saa fra dem begge tilsammen det nedenunder staaende Tal, og skriv Differentsen paa samme Plads. Staae Nuller överst, da tag ligeledes een fra nærmeste Tal, og skriv ''ni'' hvor der stode Nuller, indtil du kommer til det Sted, hvor du tager hine Ti; tag dem, som du behöver, og skriv Differentsen paa samme Sted.


'''Om Fordobbling'''
 
'''10.''' Vil du fordobble et Tal, da skriv först dette, hvilket du vil; fordobble saa den Figur, som staar længst til Venstre, og skriv paa næste Plads det overskydende Product<ref>Dette er noget unöjagtigt udtrykt. Meningen er, at Tierne skulle skrives paa næste Plads til Venstre.</ref>, ligesom ved Addition. Staar Semistegn (½) oppe ved Figuren paa yderste (&#596;: förste) Plads, da læg ''een'' til, thi der har isaafald været et ulige Tal, som er blevet halveret<ref>For at forstaa dette, maa man gjennemlæse næste § (11) og sætte sig ind i, hvorledes Semistegnet fremkommer. Man vil deraf ogsaa see, at der maa læses ''ujöfntala'', ej ''jöfntale.''</ref>.


'''Om Halvering'''

'''11.''' Vil du halvere, da skriv det Tal, du vil, og tag Halvparten af den förste Figur [til Höjre], hvis den er lige. Er den ulige, da halveer, hvad der er mere end ''een''<ref>Her er det glemt at tilföje, at der ligesaavel i dette Tilfælde, som hvor et ''Eettal'' ligefrem skal halveres, maa sættes et Semistegn over Enerpladsen. Nedenfor omtales udtrykkeligt begge de analoge Tilfælde, hvor et ulige Tal eller et Eettal findes længere til Venstre. Fremgangsmaaden maa vi overhoved forestille os saaledes. Ex. halveer 47215.<br/>

[[Fil:Algorismus utregning.jpg|100px]]Den endelige Addition er ej udtrykkelig nævnt.</ref>; er det ''Eettal'' da borttag dette, og sæt over Pladsen den Bogstav, der betegner en ''Halv'', og som vi kalde ''Semis'' og skriv saaledes: +; men sæt paa Pladsen selv et Nul. Tag paa samme Maade Halvdelen af næste Talfigur, hvis den er lige; er den ulige, da tag Halvdelen af det, som er lige, men borttag den resterende ''een'', og gjör deraf ''fem'' paa næste Plads, thi det er Halvdelen af ti. Stod ''Eettal'' paa hiin Plads, da borttag det, skriv ''fem'' paa næste, og sæt Nul, hvor den stod. Nullet betyder intet, medmindre noget Taltegn staar paa dets venstre Side. Fortsæt saa fremdeles, saamange Taltegn som der ere.


'''Om Multiplication'''

'''12.''' Vil du multiplicere et Tal med et andet, da skriv tvende Talrækker saaledes, at det yderste Tal i Multiplicanden kommer under förste Tal af den övre Række (Multiplicator), og alle de övrige Tal af den underste Række til Venstre fra hiin. Eftertænk derpaa, hvor meget den störste af de to Factorer mangler i ''ti''; saamange Gange skal du drage den mindste Factor fra sine Tiere. For at du bedre kan forstaa dette, fölger her et Exempel. Multipliceer 7 med 9. Ni mangler 1 i 10, tag derfor 1 X 7 fra 10 X 7, da blive 3 og 6 X 10 tilbage, hvilket = 7 X 9. Paa samme Maade kan du og forsöge andre Tal. Multipliceer retteligen det förste Taltegn med alle dem, der staae under, og skriv over ethvert Taltegn det Product, det giver, samt til venstre med rigtig Addition det, som ej kan staa over hint; og naar dette Taltegn er multipliceret, da flyt den yderste af dem, som staae nedenunder, hen under det næste Taltegn, og multipliceer den dermed, ligesom med den forrige. Er Productet en Tier, da sæt 0 over, og Tieren til Venstre; er det baade Ener og Tier, da skriv Fingeren over det sidst multiplicerede Tal, og Tieren til Venstre; er det kun en Ener, da sæt den ovenover. Forekommer et 0 i den övre Række, da spring over det, thi den Multiplication udbringer intet. Husk altid paa, at borttage ethvert af de ovenfor staaende Tal saa snart som du har multipliceret, og skriv den Ener i Stedet for hvert, som dertil hörer, eller 0, hvis det er rettere; men læg det, som mere er, til dem, der staa til venstre. Staar et 0 over det Tal, du multiplicerer, saa tag det bort, hvis der skal multipliceres med en Ener, og multipliceer; eller skal det blive staaende. Er du ikke vis paa, om du har multipliceret rigtigt, da divideer hele Tallet i Productet, d. e. de Tal, som stod under, og da vil det samme Tal udkomme, som du för havde.


'''Om Division'''

'''13.''' Vil du dividere et Tal, da skriv to Rader Talbogstaver, saaledes at det mindste Tal kommer under; da er det det större Tal, som skal være dobbelt eller tredobbelt o. s. v. saa stort. Sæt det förste Ziffer af det nedenunder staaende Tal lige for det förste i den övre Rad, og de andre til Höjre videre fort, saa langt som det Tal er, der skal staa nedenunder. Tænk saa efter, hvor ofte den förste Ener indeholdes i den ovenfor staaende, saaledes at de efterfölgende indeholdes ligesaa mange Gange hver i det ovenfor staaende Tal; sæt den Ener ligeoverfor det yderste Talziffer, som staar nedenunder, og dog oppe over begge Rader. Drag siden det förste fra det förste Talziffer, og dernæst hvert fölgende ligesaa ofte fra det övre Tal. Men er eet Tal under, da tag det fra det ene Tal ovenfor. Flyt dernæst hele det Tal, der staar under, een Plads videre, og find den anden Qvotient, og sæt den ved den förste, og drag det nedre Tal i Qvotienten ligesaa ofte fra det övre, og fortsæt paa samme Viis saa ofte, det udfordres. Kan du ikke finde det nederste Tal i det överste, saa sæt den Ener, der staar fremst under, nærmest det förste, og de andre Tal paa samme Viis til Höjre, og find siden Qvotienten paa denne Maade, og bring tilbage de Tal, som behöves (?) og skriv alle de samme Qvotienter ovenover, saa mange som udfordres. Staar et 0 nedenunder, saa spring over dette, thi det kan ej divideres. Naar du kommer under det yderste Talziffer og har divideret dette, da kan du ikke dividere længer, og pas da paa det Tal, som staar tilbage (Resten), hvis der er noget. Vil du pröve, om du har divideret rigtigt, saa multipliceer det Tal, der stod nedenunder med Qvotienten; da vil du faa det samme Tal ud, som du först havde. Blev der nogen Rest ved Divisionen, da læg den til Productet, saa udkommer hiint samme Tal<ref>Hele denne § er oversat bogstaveligt; men meget er saare dunkelt, paa Grund af den indviklede Fremgangsmaade.</ref>.


'''Om Uddragning af Qvadratroden'''
 
'''14.''' Naar du multiplicerer et Tal med sig selv, kaldes det udkomne Tal fiirkantet eller Qvadrans, og det Tal, du multiplicerede, heder Roden. Ethvert Tal er Rod til et Qvadrattal, men ikke er ethvert Tal Qvadrattal. Vil du finde Roden til et Tal, da skriv först Tallet, og skriv under den förste ujevne Talplads<ref>Ujevn &#596;: ueffen, her menes ved de uefne Pladse den förste, tredie, femte o, s. v.</ref> en Ener, som du qvadrerer og drager fra hvad der staar ovenfor, saa nær dette som muligt. Fordobble derpaa denne Ener; dette kaldes ''Duplum'', og tag Eneren bort; den kaldes ''Subduplum''. Pas paa dette, men skriv Duplum paa næste Plads, hvis det er en Ener; er det en Tier, da skriv den der, hvor den forrige Ener stod, og sæt 0 foran, eller en Ener, hvis Tallet er sammensat. Find derpaa en ny Ener, multipliceer den med ''Duplum'', og drag Productet fra det övre Tal; qvadreer derpaa samme Ener, og træk dette Qvadrat fra det övre Tal ligeoverfor. Derpaa skal du fordobble Eneren og passe paa den tillige med det forrige ''Subduplum'', men sæt ''Duplum'' paa næste Plads som forhen. Find derpaa en ny Ener og multipliceer med begge ''Dupla'', men flyt först det forrige ''Duplum'' en Plads nærmere mod det andet, og læg det til den Tier, der muligviis kunde findes i det sidste ''Duplum''. Multipliceer saa den nye Finger med denne Sum af begge Dupla, og drag Productet fra det övre Tal ligeoverfor ''Duplumet''. Fortsæt paa samme Viis, saa ofte som det behöves, multipliceer den nye Ener med alle Dupla, og flyt dem stedse efter en Plads videre, indtil du kommer til den yderste. Gaar hele Tallet op, som du skrev, da var det et Qvadrattal, og Roden dertil er de Enere, som du fordobblede med den sidste Ener, du fandt. Qvadreer denne Rod, saa vil du, hvis du har regnet rigtigt, faae det Tal ud, som du opskrev. Udkommer der en Rest, naar du fradrager Roden, da var hiint Tal intet Qvadrattal; men læg Resten til Qvadratet af Roden, da udkommer det förste Tal, og er da Roden og Resten tilsammen Roden til det större Tal. Var den förste Plads af det Tal, du skrev jevn, da find Ener under næste Ziffer og multipliceer paa samme Maade.


'''Om at uddrage Kubikroden'''
 
'''15.''' Multiplicerer du rigtigt paa den Maade et Qvadrattal med sig selv (&#596;: Roden), da kaldes Productet ''Cubicus'' eller Terningstal; den er ligestor til alle Kanter. Roden til Cubicus var den samme, som Roden til et Qvadrattal. Ethvert Tal er Rod til et Kubiktal, men ikke ethvert Tal selv et Kubiktal. Vil du finde Roden til et Kubiktal, saa overtænk först, hvor stort Tallet er, og hvor mange Pladser der ere; find derpaa Eneren (Roden til den forreste Tusendeplads (Tusendepladser kalde vi dem, der kun indeholde Tusender, d. e. den 4de, 7de, 10de, 13de og saa fremdeles, idet man springer over to Pladser). Fra Venstre begynder Operationen. Multipliceer den fundne Ener kubisk med sig selv, d. e. to Gange, först med sig selv og derpaa med dette Product; træk det saaledes udkomne Product fra det ovenfor Eneren selv staaende Tal. Trefolde dernæst Eneren, og spring med det Udkomne over en Plads, idet du sætter det paa tredie Plads fra hiin, hvis det er en Ener, er det en Tier, sæt 0 paa tredie Plads, Tieren paa den næste; er det et sammensat Tal, da sæt Eneren paa tredie, Tieren paa næste Plads. Find derpaa den nye Ener paa den Plads, der er nærmest det trefoldede Tal, der kaldes ''Triplum'', og multipliceer den tilligemed det först fundne Tal, hvilket vi kalde ''Subtriplum'', med det til Höjre staaende ''Triplum''; multipliceer den derpaa alene med det ved denne Multiplication udkomne Tal, hvilket vi kalde ''Productet''. Drag hele dette Tal fra det ovenfor Triplet staaende; kubeer den fundne Ener og drag det Udkomne fra det ovenfor Eneren staaende Tal; tag denne Ener (&#596;: dette Led) og trefolde den som den forrige og find saaledes en ny Ener, multipliceer den og begge Subtripler med Triplerne, og flyt stedse de gamle Tripla efter, ligesom du gjorde i den mindre Roduddragning med ''Duplerne'', paa det nær, at du her stedse skal hoppe over en Plads, medens du dog paa samme Maade lægger ''Triplum'' til ''Triplum'' med rigtig Addition. Fortsæt paa samme Maade saalænge det behöves, indtil du kommer til yderste Plads. Men du maa omhyggeligt huske paa, naar du finder Enerne (Leddene), at du ej drager saameget fra det övre Tal, at det Tal, du multiplicerer Triplerne til, eller det du multiplicerer den sidstfundne Ener (Led) til, ej kan finde Plads. Pas altid paa Subtriplet tilligemed Triplet. Mærk dig ogsaa, hvis Nuller komme i Subtriplet, at deres Multiplication eller Trefoldning giver et Product = 0, og at de beholde sine Pladser, saalænge noget Talciffer staar paa höjre Haand for dem; ligesom det er lettest ved Addition af Triplum at bære sig ad, som forhen anmærket ved Addition. Alle de Enere, som vare ''Subtripla'', tilsammen og den yderste Ener tilligemed dem ere Roden til det störste Tal, som du först skrev, hvis hele Tallet gik op ved Subtractionen. Naar du cuberer Subtriplerne, vil du finde hiint förste Tal; blev der ved Subtractionen nogen Rest, da var hiint Tal intet Kubiktal; dog er Resten, tillagt Subtriplum, Rod til et Kubiktal; og hvis du kuberer den mindre Rod, og lægger Resten til Productet, da udkommer hiint förste Tal. Mere skrive vi ej derom for denne Sinde.


'''16.''' Qvadraterne af Enerne ere fölgende: 3<sup>2</sup> = 9, 2<sup>2</sup> = 4, 4<sup>2</sup> = 16, 5<sup>2</sup> = 25, 6<sup>2</sup> = 36, 7<sup>2</sup> = 49, 8<sup>2</sup> = 64, 9<sup>2</sup> = 81. Maaden at finde Producterne paa er forhen beskreven. Kuberne af Enerne ere: 3<sup>3</sup> = 27, 2<sup>3</sup> = 8, 4<sup>3</sup> = 64, 5<sup>3</sup> = 125, 6<sup>3</sup> = 216, 7<sup>3</sup> = 343, 8<sup>3</sup> = 5l2, 9<sup>3</sup> = 729.


'''17.''' Ethvert Qvadrattal har to Dimensioner, Brede og Længde, men Kubiktallet har tre Dimensioner, Brede, Længde og Tykkelse eller Höjde. Derfor sige Philosopherne, at ethvert synligt Legeme er sammensat med dette Tal, thi det (Legemet) har altid disse tre Dimensioner. Da den evige Viisdom og eneste Gud vilde skabe den synlige og legemlige Verden, dannede han först de to yderste Elementer, Ild og Jord, thi intet kan af Naturen være synligt uden dem, eftersom Ilden giver Lys og Bevægelse, Jorden Fasthed og Hold. Men saasom disse Elementer have trende ulige og modsatte Qvaliteter, var det en naturlig Nödvendighed at sætte noget mellem dem, der kunde forlige deres Modstræben. Da nu, som forhen nævnt, Jord og Ild og alt legemligt er sammensat med det trefoldige Tal, vi kalde Kubus, skrive vi disse to Kubiktal saaledes: Jorden togange To to Gange = 2. 4. 8, og Ilden: tregange Tre tre Gange = 3. 9. 27. Men da der intet Midt-Skille kan være mellem begge disse Tal, uden det, der med ligelig Proportion hörer til hvert af dem, ligesaalidt som mellem de to andre Kuber, finde vi to Proportionstal saaledes: vi multiplicere Roden til den störste Kubus med Qvadraten til den mindre, det er togange To tre Gange = 2. 4. l2., og Roden til den mindre med Qvadraten til den större, det er tregange Tre to Gange, = 3. 9. 18. Disse to Tal höre ligemeget til begge hine förste Kuber, thi 27 indeholder 18 og Halvdelen af 18, og 18 indeholder 12 og Halvdelen af 12; ligeledes indeholder Tolv 8 og Halvdelen af 8. Paa den Maade findes stedse Proportionaldelene mellem to Kuber. Og paa denne Maade dannede Gud de to Elementer mellem Ild og Jord, d. e. Luft og Vand. Vandet indeholder to Qvaliteter og to Tal af Jorden, een Qvalitet og eet Tal af Ilden; Luften indeholder 2 Qvaliteter og 2 Tal af Ilden, een Qvalitet og eet Tal af Jorden. Ilden er saameget lettere end Luften, som 27 er större end 18, Luften saa meget lettere end Vandet, som 18 er större end 12, Vandet saa meget lettere end Jorden, som 12 er större end 8. Dette vil tydeligere skjönnes af den Figur, som nedenfor er tegnet, og kaldes ''Cubus perfectus''<ref>Denne Figur findes nu ingensteds i Hauksbogen eller de övrige Codices.</ref>.


<center>'''____'''</center>


Med den her udgivne Afhandling om Algorismus fortjener at jevnföres en „Treatise on the Numeration of Algorisme“ efter et Pergamentsblad fra det 14de Aarhundrede, og i Særdeleshed „Alexandri de Villa Dei Carmen de Algorismo“, af hvilket der findes talrige Haandskrifter i de britiske Bibliotheker og Archiver, begge udgivne af James Orchard Halliwell i Rara Mathematica, or a Collection of Treatises on the Mathematics and subjects connected with them, from ancient inedited Manuscripts (London 1839, 8), S. 29-31 og 73-83. Vi ville her meddele Begyndelsen af dette „Carmen de Algorismo“:


:Hæc algorismus ars præsens dicitur; in qua 
:talibus Indorum fruimur bis quinque figuris. 
::0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 
:primaque significat unum: duo vero secunda 
:tertia signiticat tria: sic procede sinistra 
:donec ad extremam venias, quæ cifra vocatur, 
:quæ nil significat, dat significare sequenti. 
:Quælibet illarum si primo limite ponas, 
:simpliciter se significat: si vero secundo, 
:se decies: sursum procedas multiplicando. 
:Post prædicta scias breviter quod tres numerorum 
:distinctæ species sunt; nam quidam digiti sunt; 
:articuli quidam; quidam quoque compositi sunt. 
:Sunt digiti numeri qui semper infra decem sunt; 
:articuli decupli digitorum; compositi sunt 
:illi qui constant ex articulis digitisque. 
:Ergo, proposito numero tibi scribere, primo 
:respicias quis sit numerus; quia si digitus sit, 
:una figura satis sibi; sed si compositus sit, 
:primo scribe loco digitum post articulum; atque 
:si sit articulus, in primo limite cifram, 
:articulum vero tu in limite scribe sequenti. 
:Quolibet in numero, si par sit prima figura, 
:par erit et totum, quicquid sibi continuatur;
:impar si fuerit, totum sibi fiet et impar.
:Septem sunt partes, non plures, istius artis;
:addere, subtrahere, duplareque dimidiare;
:sextaque dividere est, sed quinta est multiplicare;
:radicem extrahere pars septima dicitur esse.
:Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis;
:a leva dupla, divide, multiplicaque;
:extrahe radicem semper sub parte sinistra.


----


'''Fotnoter:'''
<references />

[[Kategori:Alfabetisk indeks]]
[[Kategori:Tekster på norsk]]
[[Kategori:Peter Andreas Munch]]